الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
مقدمةعنالأعدادالمركبة
الأعدادالمركبة(الأعدادالعقدية)هيأعدادتتكونمنجزئين:جزءحقيقيوجزءتخيلي.يمكنالتعبيرعنهابالصيغةالتالية:الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
[z=a+bi]
حيث:
-(a)هوالجزءالحقيقي
-(b)هوالجزءالتخيلي
-(i)هوالوحدةالتخيلية،حيث(i^2=-1)
لماذانستخدمالأعدادالمركبة؟
ظهرتالأعدادالمركبةكحلللمعادلاتالتيلاتملكحلولًافيمجموعةالأعدادالحقيقية.علىسبيلالمثال،المعادلة(x^2+1=0)ليسلهاحلفيالأعدادالحقيقيةلأن(x^2)لايمكنأنيكونسالبًا.لكنباستخدامالأعدادالمركبة،يصبحالحل(x=i)أو(x=-i).
العملياتالأساسيةعلىالأعدادالمركبة
1.الجمعوالطرح
لجمععددينمركبين،نجمعالأجزاءالحقيقيةمعًاوالأجزاءالتخيليةمعًا:
[(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i]
2.الضرب
يتمضربالأعدادالمركبةباستخدامخاصيةالتوزيعمعالأخذفيالاعتبارأن(i^2=-1):
[(a+bi)\cdot(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i]
3.القسمة
لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقاملإزالةالجزءالتخيليمنالمقام:
[\frac{ a+bi}{ c+di}=\frac{ (a+bi)(c-di)}{ c^2+d^2}]
التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة
يمكنتمثيلالعددالمركب(z=a+bi)كنقطةفيالمستوىالإحداثي،حيث:
-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي(a)
-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي(b)
هذاالتمثيليُعرفبمستوىالأعدادالمركبةأومخططأرغاند.
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسطالصيغةالقطبيةللأعدادالمركبة
يمكنأيضًاالتعبيرعنالعددالمركبباستخدامالصيغةالقطبية:
[z=r(\cos\theta+i\sin\theta)]
حيث:
-(r)هوالمقدار(المعيار)ويُحسببالعلاقة(r=\sqrt{ a^2+b^2})
-(\theta)هوالزاوية(الطور)ويُحسببالعلاقة(\theta=\arctan\left(\frac{ b}{ a}\right))
تطبيقاتالأعدادالمركبة
تستخدمالأعدادالمركبةفيالعديدمنالمجالاتمثل:
-الهندسةالكهربائية:لتحليلدوائرالتيارالمتردد
-الفيزياء:فيميكانيكاالكمومعادلاتالموجة
-معالجةالإشارات:فيتحليلفورييه
-الرسومياتالحاسوبية:فيتوليدالفركتلات
خاتمة
الأعدادالمركبةهيأداةرياضيةقويةتوسعنطاقالأعدادالحقيقيةوتسمحبحلمعادلاتلميكنلهاحلولسابقًا.بفهمأساسياتهاوتطبيقاتها،يمكنالاستفادةمنهافيمجالاتمتعددةمنالعلوموالهندسة.
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
